historia de la topografia en colombia

Historia topografía en Colombia




Entre los criollos neogranadinos pertenecientes al estamento social que poseía el poder económico, surgieron los precursores de nuestra independencia. Francisco José de Caldas, sabio y patriota colombiano nació en Popayán (1770- 1816), realizó notables estudios botánicos y trazó el mapa del Virreinato del Perú, fue el primer director del Observatorio Astronómico y fundador del Semanario de Nueva Granada, puede considerarse como uno de los gestores de la topografía en Colombia.

El primer instrumento astronómico que fabricó fue un gnomón de biomate, madera dura y fina que admite bastante pulimento; cuyo horizonte de tres pulgadas de grueso, estaba apoyado en cuatro tornillos de hierro, para nivelar y tomar alturas de sol, con el objeto de arreglar una péndola; y como no tenía péndulo ni cronómetro para sus observaciones, reforma un reloj antiguo inglés de péndola quitándole las piezas que servían para las campanas, a fin de quedar más sencillo y menos expuesto a variaciones, revisando y remontando con sumo cuidado el resto de la máquina.

Luego se puso a construir un cuadrante solar con un anteojo acromático así: Fabricó un cuarto de círculo de madera de biomate de cuatro pulgadas de espesor para que no se torciese; incrustó en él una faja concéntrica de estaño bruñido para servir de limbo, y trazó la graduación de éste con escrupulosa delicadeza. El centro del cuadrante era de marfil embutido, con una aguja muy fina clavada en él, de la que pendía una pesita del plomo al extremo de un cabello humano, destinado a marcar los arcos de los ángulos o alturas medias, y el instrumento giraba verticalmente sobre un eje central de acero fijado a un mástil e iba a envolverse abajo con una clavija o tornillo cuya cabeza se aplicaba los dedos del observador. El plano horizontal del gnomón servía también para colocar el cuadrante en posición vertical.

El péndulo viejo rejuvenecido y el cuadrante que se ha descrito, causaron agradable sorpresa al Barón de Humbolt, a su paso por Popayán, y además fueron los instrumentos con que hizo Caldas sus primeras observaciones astronómicas, con los que fijó la posición geográfica de su ciudad natal, y con los que calculó otras varias latitudes y longitudes que discreparon muy poco de las determinadas posteriormente con buenos aparatos de Europa.

En un informe dirigido por Caldas al secretario del virreinato, decía lo siguiente: “En 1799 y principios de 1800 se presentaron a mi espíritu muchas ideas sobre la constancia del calor del agua en ebullición, y sobre su variación mudando de nivel (del mar*), las ideas se pusieron en práctica, y subí cuatro veces sobre los Andes de Popayán, cargando con mis barómetros, termómetros, y con una lámpara de ebullición, verifiqué una larga serie de observaciones; el resultado fue que las montañas se pueden medir con el termómetro, como se hace con el barómetro”.

Con estos raciocinios llega Caldas a las siguientes conclusiones: “El calor del agua hirviendo es proporcional a la presión atmosférica; la presión atmosférica es proporcional a la altura sobre el nivel del mar; la presión atmosférica sigue la misma ley que las elevaciones del barómetro o, hablando con propiedad, el barómetro no nos enseña otra cosa que la presión atmosférica; luego el calor del agua nos indica la presión atmosférica del mismo modo que el barómetro; luego puede darnos las elevaciones de los lugares sin necesidad del barómetro y con tanta seguridad como él”.

El genio y talento de Caldas contribuyó a la topografía, y sus trabajos fueron de gran precisión e importancia. Estando Caldas en Quito, en Julio de 1802, después de haber observado el solsticio de junio, empezó una serie de incursiones científicas, saliendo hacia los corregimientos de Ibarra y Otavalo, cuya carta levantó por observaciones astronómicas y trabajos geodésicos, en que midió las montañas nevadas de Cotanche, Mojanda e Imbabura. La fijación de la latitud de Quito con diversos objetos le ocupó de una manera seria, posteriormente se comprometió a explorar el territorio por donde se pretendía abrir un nuevo camino de Ibarra hacia la desembocadura del río Santiago; en julio y agosto de 1803, trazó con minucioso cuidado el curso de ¡os ríos, y con determinación astronómica y barométrica de todos los puntos importantes, cortó el perfil del terreno desde las nieves perpetuas de los Andes hasta el océano por medio de herborizaciones (hipsometría*); estableció la altura del mercurio y el grado de calor del agua hirviendo al nivel del mar, fijó astronómicamente y por operaciones geodésicas las posiciones de varios lugares; trabajó con el barómetro y el termómetro, determinando la altura geométrica de las montañas más célebres y más de mil quinientas alturas de diferentes pueblos. Entre las grandes producciones del sabio cabe destacar el Estado de la Geografía del Virreinato, con Relación a la Economía y al Comercio, en que trata el cuadro geográfico del país, diseñando sus límites, sus costas, sus cadenas de montañas, sus páramos y nevados, sus altas mesetas y sus bajas planicies y sus valles; computando la extensión de su litoral en ambos mares y su área territorial; indicando la elevación sobre el nivel del mar, la temperatura, la vegetación, la calidad del suelo, las condiciones atmosféricas y los fenómenos meteorológicos de sus regiones; analizando las ventajas de su posición y configuración para sus relaciones con todos los pueblos de la tierra y sus vías naturales o más practicables de comunicación fluviales o terrestres, para el tráfico interior; dando idea de sus productos vegetales y riquezas minerales de los animales que pueblan sus bosques y sus ríos, de las razas de la especie humana que viven agrupadas o diseminadas en él. La obra de Caldas nos muestra un panorama muy alentador en cuanto a la ciencia y particularmente a la astronomía, cartografía y topografía, que fueron la base de sus trabajos durante toda la vida. Sin mencionar sus valiosísimos aportes a la REAL EXPEDICIÓN BOTÁNICA (1783-1803) presidida por el sabio don José Celestino Mutis.De 1849 a1859 durante el gobierno de José Hilario López, se organizó la COMISIÓN COROGRÁFICA que tenía por objeto recorrer todo el territorio nacional y levantar un mapa general y el de las provincias en particular. Además, sus integrantes estaban en la obligación de escribir sobre los lugares visitados que tuviesen especial importancia, de narrar los episodios y aventuras, do observar cuanto pudiese resultar interesante para el mejor conocimiento de la república, de vestidos típicos, de personajes, de accidentes geográficos, etc. Actuó como jefe de la comisión el sabio italiano AGUSTIN CODAZZI, quien por espacio de 9 años visitó todo el país. Una fiebre maligna que adquirió en sus correrías, lo llevó a la tumba sin que hubiese terminado los mapas. El doctor Manuel Ancizar sirvió como ayudante y dejo un libro de viajes titulado Peregrinación de Alpha. Como botánico trabajó don José Jerónimo Triana. Muerto Codazzi, la Comisión Corográfica siguió funcionando hasta dar por terminadas las labores que se habían propuesto.

HISTORIA DE LA TOPOGRAFIA EN EL MUNDO

Los orígenes de la profesión datan desde los tiempos de TALES DE MILETO y ANAXIMANDRO, de quienes se conocen las primeras cartas geográficas y las observaciones astronómicas que añadió ERASTÓGENES. Acto seguido, guardando la proporción del tiempo HIPARCO crea la teoría de los meridianos convergentes, y así como estos pioneros, recordamos entre otros a ESTRABON y PLINIO, considerados los fundadores de la geografía, seguidos entre otros por el Topógrafo griego TOLOMEO quien actualizó los planos de la época de los Antónimos. Mas tarde en Europa, se mejoran los trabajos topográficos a partir de la invención de las cartas planas. Luego en el siglo XIII con la aplicación de la brújula y de los avances de la Astronomía, se descubren nuevas aplicaciones a la Topografía.

Así, de manera dinámica a través del tiempo la Topografía se hace cada vez más científica y especializada, por estar ligada a lograr la representación real del planeta, valiéndose para este propósito en la actualidad de los últimos adelantos tecnológicos como la Posición por satélite (GPS y GLONASS) gracias a los relojes atómicos y a la riqueza de información captada por los Sensores remotos.

Paralelamente, el desarrollo de la informática y el rayo láser han permitido poner en marcha los sistemas inerciales y las mediciones del sistema SPS (Sistema de Posicionamiento Espacial), mezclando estos sistemas con la inmensurable información captada por las imágenes digitales.

En América, la aplicación concreta y el desarrollo de la Topografía nos presenta un panorama enmarcado dentro de los tiempos de la conquista y la colonia y más específicamente por los trabajos adelantados por MUTIS, ALEXANDER VON HUMBOLDT y FRANCISCO JOSE DE CALDAS.

Posteriormente España envía misiones de Cartógrafos dentro de los cuales es notable AGUSTÍN CODAZZI. En la continua tarea de establecer las "VERDADERAS" medidas y formas del territorio, siempre ligadas a los hechos políticos y a la soberanía, ha pasado una extensa lista de Cartógrafos, Geógrafos, Astrónomos etc., con el propósito de lograr la representación lo más real y exacta posible de la tierra, que se resume etimológicamente en dos palabras: TOPO = TIERRA y GRAFOS = DIBUJO.

Contemporáneamente, no podemos dejar sin registrar que los Estados Unidos, país desarrollado por excelencia en el planeta, tuvo en su primer Presidente al Geómetra GEORGE WASHINGTON a quien se le debe en la práctica la medición del territorio occidental de la colonia y de las llanuras del otro lado de los montes Apalaches.

Académicamente dentro del ámbito suramericano, es importante señalar que la cátedra de Topografía se impartió por primera vez en México en el Real Seminario de Minería en el año de 1792, luego en 1843 se establece el curso de Geodesia y en 1858 se instituyó la carrera de Ingeniero Topógrafo o Agrimensor.

HERÓN DE ALEJANDRÍA.

(Floreció h. 62) Matemático, físico e inventor griego de la escuela de Alejandría. No se sabe casi nada de su vida, se discute hasta el siglo en que vivió y su nacionalidad de origen (quizás egipcia, aunque escribió en griego). Se le conoce principalmente por la "fórmula de Herón", que calcual el área de un triángulo en función de sus lados: es igual a la raíz cuadrada del producto p (p-a) (p-b) (p-c), donde a, b y c son las longitudes de los lados y p es el semiperímetro (la semisuma de los lados). Su obra Métrica, perdida hasta 1896, incluye esta fórmula y otros métodos para calcular áreas de polígonos, volúmenes de cuerpos sólidos y diversos problemas de la Geometría. En Física se le debe un libro sobre óptica (Catóptrica), donde estudia las leyes de la reflexión y adelanta el principio de Fermat. También se dedicó a la Geodosia (medida de terrenos) y describió un método para calcular la distancia entre Roma y Alejandría basándose en la hora en que se observa en ambas ciudades el mismo eclipse de Luna. Herón realizó numerosos inventos mecánicos, e incluso se adelantó a James Watt con una máquina de vapor rudimentaria: la eolipila, una esfera situada sobre una caldera, a la que el vapor hace girar al salir proyectado por dos tubos excéntricos. Utilizando la energía del vapor o del agua, y dispositivos como tornillos, palancas y poleas, construyó diversos juguetes y mecanismos, como la "fuente de Herón" un órgano acuático, una bomba de incendios y una máquina tragaperras. También se le debe la dioptra, un instrumento de agrimensura semejante al teodolito, así como varios relojes de agua. Además de las obras citadas, escribió Dioptra, Geométrica, Geodesia, Mensurae, Pneumatica y Belopoeica, entre otras.

Sexto Julio Frontino

Sexto Julio Frontino (c. 40 - 103) fue un político del Imperio romano, uno de los más importantes aristócratas de finales del siglo I. Es principalmente famoso por sus obras y tratados, especialmente por uno que habla de los acueductos de la ciudad de Roma.

Carrera Política

Lo primero que se conoce de la carrera de Julio Frontino fue su elección para el pretorado en el año 70. Cinco años más tarde, en el año 75, se le envió a la provincia de Britania para que sucediera a Quinto Petilio Cerial en el gobierno de la isla. Durante su cargo, Frontino subyugó a los siluros y a otras tribus hostiles de Gales, estableciendo una nueva base para la Legio II Augusta en Caerleon o Isca Augusta y un sistema de fortificaciones que constaba de fortalezas situadas a 20 km de distancia entre ellas, incluyendo la de Luentinum, que tenía como objetivo controlar las minas de oro de Dolaucothi. En el año 78, Frontino fue sucedido en el gobierno de Britania por el general Cneo Julio Agrícola.

En el año 95, Frontino fue nombrado como comisionado de los acueductos de la capital imperial (curator aquarum) por el emperador Nerva. El cargo de curator aquarum era exclusivo de personas de gran influencia política, lo que revela la importancia que Frontino logró durante su carrera. Además de ello, Frontino formaba parte del Colegio de Augures. Durante su cargo de comisionado de las aguas de la ciudad, Frontino redactó un tratado acerca del estado de todos los acueductos de la ciudad. Este tratado, el primero que se escribía acerca del tema, ha sido una de las más importantes obras de ingeniería de la Edad Clásica.

Durante su cargo, Frontino siguió la política de otro estadista romano, Agripa, quien en el año 34 a. C. organizó una campaña pública de reparaciones y mejoras de los edificios de Roma. Durante la campaña de Agripa, el Aqua Marcia fue sometido a una importante renovación y se ampliaron las tuberías de la ciudad. A través de estas acciones, Agripa siguió la línea que había iniciado tras su nombramiento como edil (funcionario encargado de los edificios y festivales de Roma). Durante el edilato de Agripa, las calles se repararon y las alcantarillas se limpiaron y renovaron. En épocas posteriores, Agripa seguiría mejorando y embelleciendo la ciudad al ampliar la Cloaca Máxima, sistema de alcantarillado de Roma, y construir termas, pórticos y jardines.

Los acueductos de Roma

Restos de los acueductos Aqua Claudia y Aqua Anio Novus, integrados como portones de la Muralla Aureliana en el año 271.

Su obra más importante, De aquaeductu, constituye un informe oficial para el emperador que registra el estado de los acueductos de Roma. De aquaeductu presenta la historia y descripción del suministro de agua a Roma, incluyendo las leyes relativas a su uso y mantenimiento. Además de describir la historia de todos los acueductos de la capital imperial, la obra de Frontino registra los tamaños de todos los canales, las tasas de aprobación de su construcción entre la población y la calidad de las aguas de los acueductos en función de que su fuente fuera un río, lago o manantial. Entre los acueductos citados en el escrito se encuentran el Aqua Appia, el Aqua Alsietina, el Aqua Tepula, el Anio Novus, el Aqua Virgo, el Aqua Claudia y el Aqua Traiana.

Lo primero a lo que Frontino se dedicó cuando fue nombrado comisionado de las aguas de Roma fue a elaborar un mapa del sistema de acueductos, canales y alcantarillas de la capital a fin de poder evaluar su estado antes de proceder a su mantenimiento. Tras terminar el mapa, Frontino alegó que muchos de los acueductos se habían descuidado y que no funcionaban a pleno rendimiento. Preocupado principalmente por la falta de escrúpulos de granjeros y comerciantes, que aprovechaban el emplazamiento de los acueductos para insertar tubos con el fin de apropiarse de parte del suministro de agua, Frontino se entregó a una profunda investigación a lo largo de toda el área por el que discurría el agua. Frontino tomó como modelo la obra de Vitruvio, De Architectura, que habla de la construcción y mantenimiento de los acueductos en el siglo anterior.

Sistema de distribución

El modo en que se distribuía el agua en Roma dependía de la zona por la que entrara esta a la ciudad, de su calidad y del modo de gestionarla. Por regla general, el agua de mala calidad se empleaba para regar jardines, mientras que únicamente la de mejor calidad estaba destinada a ser consumida por los ciudadanos. Por otra parte, el agua de calidad intermedia se empleaba para suministrar a baños y fuentes. Al acceder al cargo de comisionado, Frontino criticó que se mezclaran sin miedo aguas procedentes de diferentes fuentes. Una de sus primeras decisiones fue separar las aguas de cada acueducto.

Mantenimiento

Frontino mantuvo siempre una fuerte preocupación por la existencia de fugas en el sistema, especialmente en los conductos subterráneos, más difíciles de localizar y reparar. Este problema es aún hoy fuente de preocupación entre los ingenieros. Los acueductos que circulaban por encima del suelo se mantuvieron en buenas condiciones, especialmente los que estaban sujetos por estructuras de gran tamaño. Según Frontino era esencial mantener a los árboles a una distancia prudencial de los acueductos a fin de que no dañaran las estructuras con sus raíces. Durante su tiempo en el cargo, Frontino reformó la ley que vigilaba el estado de los acueductos, modificando gran parte de sus estatutos.

Eratóstenes

(Cirene, c. 284 a.J.C. - Alejandría, c. 192 a.J.C.) Astrónomo, geógrafo, matemático y filósofo griego, una de las figuras más eminentes del gran siglo de la ciencia griega: el de Euclides, Arquímedes y Apolonio. Once años menor que Arquímedes, mantuvo con éste relaciones de amistad y correspondencia científica. Cultivó no sólo las ciencias, sino también la poesía, la filología y la filosofía, por lo que fue llamado por sus coetáneos "pentatleta", o sea campeón de muchas especialidades.

Vivió en Atenas hasta que fue llamado a Alejandría (245 a.J.C.) para educar a los hijos de Tolomeo III y para dirigir la biblioteca de la ciudad. Fue célebre en matemáticas por la criba que lleva su nombre, utilizada para hallar los números primos, y por su mesolabio, instrumento de cálculo usado para resolver la media proporcional. Consideró tan importante la invención del mesolabio que regaló un ejemplar de él a un templo como ofrenda votiva, con un texto en verso que explicaba su utilidad.

Pero Eratóstenes es particularmente recordado por haber establecido por primera vez la longitud de la circunferencia de la Tierra (252.000 estadios, equivalentes a 40.000 kilómetros) con un error de sólo 90 kilómetros respecto a las estimaciones actuales.

Eratóstenes sabía que, cuando en la ciudad egipcia de Siene (actual Asuán), el Sol llegaba su punto más alto (mediodía), se encontraba en la vertical del observador. Y observó que en Alejandría, ciudad situada a mayor latitud, el Sol formaba un ángulo de aproximadamente 70º con la vertical cuando se encontraba en su punto más alto. Valiéndose de la distancia existente entre Siene y Alejandría, estimó que la circunferencia de la Tierra superaba en 70 veces tal longitud y dedujo fácilmente su medida mediante una cualificada ecuación.

Hiparco de Nicea

(?, h. 127 a.C.-Rodas, actual Grecia, ?) Astrónomo y geógrafo griego. Llevó a cabo sus observaciones en Rodas, donde construyó un observatorio, y en Alejandría. El año 127 a.C. es citado habitualmente como la última fecha conocida de sus trabajos; sin embargo, el astrónomo francés Jean Delambre (1749-1822) demostró que algunas de las observaciones de Hiparco sobre la estrella Eta Canis Majoris tuvieron que ser realizadas en una fecha posterior.

Ninguno de sus estudios ha llegado hasta nuestros días, pero tenemos noticia de ellos gracias a los escritos de Estrabón y de Tolomeo. En el 134 a.C. observó una nueva estrella en la constelación de Escorpión; estimulado por el descubrimiento, elaboró un catálogo de alrededor de 850 estrellas, clasificadas según su luminosidad de acuerdo con un sistema de seis magnitudes de brillo, similar a los actuales.

Comparó la posición de las estrellas de su tiempo con los resultados obtenidos siglo y medio antes por Timocharis, y calculó que la diferencia era mayor de lo que cabría esperar de posibles errores en la medición (concretamente, de 45 segundos de arco en un año, valor muy próximo a los 50,27 segundos aceptados actualmente), y dedujo que tal diferencia no era debida al movimiento de las estrellas, sino al movimiento o precesión de este a oeste del punto equinoccial (es decir, el punto de intersección de la eclíptica con el ecuador celeste). Precisó el período del año solar en 365 días y 6 horas.

Se sabe poco acerca de los instrumentos que utilizaba para sus observaciones, aunque Tolomeo le atribuye la invención de un teodolito que mejoró la medición de los ángulos. En el campo de la geografía destacan sus trabajos sobre trigonometría esférica, gracias a los cuales le fue posible precisar la localización de puntos en la superficie terrestre por medio de su latitud y longitud.

Claudio Tolomeo

(O Ptolomeo; Siglo II) Astrónomo, matemático y geógrafo griego. Es muy poca la información sobre la vida de Tolomeo que ha llegado hasta nuestro tiempo. No se sabe con exactitud dónde nació, aunque se supone que fue en Egipto, ni tampoco dónde falleció.

Su actividad se enmarca entre las fechas de su primera observación, cuya realización asignó al undécimo año del reinado de Adriano (127 d.C.), y de la última, fechada en el 141 d.C. En su catálogo de estrellas, adoptó el primer año del reinado de Antonino Pío (138 a.C.) como fecha de referencia para las coordenadas.

Tolomeo fue el último gran representante de la astronomía griega y, según la tradición, desarrolló su actividad de observador en el templo de Serapis en Canopus, cerca de Alejandría. Su obra principal y más famosa, que influyó en la astronomía árabe y europea hasta el Renacimiento, es la Sintaxis matemática, en trece volúmenes, que en griego fue calificada de grande o extensa (megalé) para distinguirla de otra colección de textos astronómicos debidos a diversos autores.

La admiración inspirada por la obra de Tolomeo introdujo la costumbre de referirse a ella utilizando el término griego megisté (la grandísima, la máxima); el califa al-Mamun la hizo traducir al árabe en el año 827, y del nombre de al-Magisti que tomó dicha traducción procede el título de Almagesto adoptado generalmente en el Occidente medieval a partir de la primera traducción de la versión árabe, realizada en Toledo en 1175.

Utilizando los datos recogidos por sus predecesores, especialmente por Hiparco, Tolomeo construyó un sistema del mundo que representaba con un grado de precisión satisfactoria los movimientos aparentes del Sol, la Luna y los cinco planetas entonces conocidos, mediante recursos geométricos y calculísticos de considerable complejidad; se trata de un sistema geocéntrico según el cual la Tierra se encuentra inmóvil en el centro del universo, mientras que en torno a ella giran, en orden creciente de distancia, la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.

Con todo, la Tierra ocupa una posición ligeramente excéntrica respecto del centro de las circunferencias sobre las que se mueven los demás cuerpos celestes, llamadas círculos deferentes. Además, únicamente el Sol recorre su deferente con movimiento uniforme, mientras que la Luna y los planetas se mueven sobre otro círculo, llamado epiciclo, cuyo centro gira sobre el deferente y permite explicar las irregularidades observadas en el movimiento de dichos cuerpos.

El sistema de Tolomeo proporcionó una interpretación cinemática de los movimientos planetarios que encajó bien con los principios de la cosmología aristotélica, y se mantuvo como único modelo del mundo hasta el Renacimiento, aun cuando la mayor precisión alcanzada en las observaciones astronómicas a finales del período medieval hizo necesaria la introducción de decenas de nuevos epiciclos, con lo cual resultó un sistema excesivamente complicado y farragoso.

Pitágoras

(Isla de Samos, actual Grecia, h. 572 a.C.-Metaponto, hoy desaparecida, actual Italia, h. 497 a.C.) Filósofo y matemático griego. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas, ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona.

Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates, en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en este último país, cuna del conocimiento esotérico, se le atribuye haber estudiado los misterios, así como geometría y astronomía.

Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises, para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.

La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes, cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. El camino de ese saber era la filosofía, término que, según la tradición, Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de «amor a la sabiduría».

También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos; éste es, en especial, el caso del famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas.

La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.

Groma (instrumento de medida)

La groma o gruma (por deformación, quizá vía el etrusco, de la palabra griega gnomon que significaba “escuadra”) era el aparato de nivelación esencial de los agrimensores de la antigua Roma.

Descripción

Consistía en una pértiga vertical que soportaba a su extremidad superior un travesaño situado sobre un pivote: el travesaño podía así girar en el plano horizontal. Cada brazo del travesaño soportaba en su extremidad una plomada.

La groma servía para comprobar las alineaciones y la corrección de las direcciones perpendiculares. Por abuso del lenguaje, este término vino a designar el centro de un campamento militar romano o el foro en la fundación de una ciudad, o la intersección del cardo y del decumanus , ya que el ángulo recto formado por las direcciones de estas dos arterias, era comprobado con la groma por los agrimensores.

El "corobates" o primer aproximación de un nivel, era una regla horizontal con patas en las cuatro esquinas, en la parte superior de la regla había un surco donde se vertía agua para usarla como nivel. Por otro lado Herón menciona la forma de obtener un medidor de distancia por medio de las revoluciones de una rueda.

Ptolomeo, hacia el ano 150 a. de C. describió el cuadrante aplicándolo a observaciones astronómicas. Para ángulos verticales, las reglas de Ptolomeo fueron utilizadas hasta la Edad Media.

Se puede considerar como antecesor del teodolito al astrolabio de Hiparco, contemporáneo de Ptolomeo.

Astrolabio

El astrolabio es un instrumento que permite determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste. La palabra astrolabio significa etimológicamente "el que busca estrellas" y debe su procedencia al griego ("ἄστρον", estrella y "λάβιον", (del verbo "λαμβάνω": tomar, agarrar)). En realidad no se sabe bien quien fue el inventor original. Algunas obras de Ptolomeo ya describen su construcción (Almagesto), las cuales fueron utilizadas por otros científicos como Hipatia para hacer mejoras en los cálculos. Se conoce que Hipatia trabajó con su padre para hacer correcciones en el Almagesto de Ptolomeo y construyó un astrolabio. Aún así, también sabemos que Hiparco de Nicea ya construía astrolabios antes que Ptolomeo e Hipatia. Para el siglo VIII ya era ampliamente conocido en el mundo islámico y en Europa en el siglo XII. Aún cuando existen vestigios de la cultura Sumeria, desde 5.000 a. C., que demuestra que los astrólogos sumerios lo utilizaban para saber las posiciones de las estrellas.

Durante los siglos XVI a XVIII el astrolabio fue utilizado como el principal instrumento de navegación hasta la invención del sextante.

Los astrolabios eran usados para saber la hora y podían usarse también para determinar la latitud a partir de la posición de las estrellas. Los marineros musulmanes a menudo los usaban también para calcular el horario de oración y encontrar la dirección hacia la Meca.

El astrolabio se basa en la proyección estereográfica de la esfera. En su forma original requería una placa de coordenadas de horizonte distinta para cada latitud, pero en el siglo XI el astrónomo Azarquiel, en al-Ándalus, inventó una placa única que servía para todas las latitudes. La obra maestra de la técnica de fabricación de astrolabios fue la del sirio ibn al-Shatir, una herramienta matemática que podía ser usada para resolver todos los problemas comunes de astronomía esférica de cinco formas diferentes.

La parte delantera del instrumento sirve para saber en qué parte del mundo se está y qué hora es. Una pieza gira encima de la placa madre, que se llama araña o red, y sirve para saber en qué posición del cielo está el Sol. Esta pieza representa al firmamento visible de todo el mundo. Una aguja representa, por un extremo, al Sol, y por el otro, la hora que es.

La parte trasera de la madre sirve para saber la altura de una torre, la distancia a esa torre y el símbolo del zodiaco que está ocupado por el Sol. Encima de esta parte sólo gira una aguja

Quadrans Muralis

Quadrans Muralis, el cuadrante mural, fue una constelación creada por Joseph Lalande en 1795 a partir de estrellas al norte de Boötes. La estrella principal era la variable CL Draconis, de magnitud aparente 4,95. La constelación representa el cuadrante, un antiguo instrumento astronómico que servía, junto con el octante y el sextante, para observar la posición de las estrellas.

Si bien la constelación ya no es reconocida por los astrónomos, le ha dado su nombre a la lluvia anual de meteoros conocida como Quadrántidas o Cuadrántidas, que irradia desde esta zona cada mes de enero.

Teodolito

El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles.

Es portátil y manual; está hecho para fines topográficos e ingenieros, sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de una mira y mediante la taquimetría, puede medir distancias. Un equipo más moderno y sofisticado es el teodolito electrónico, y otro instrumento mas sofisticado es otro tipo de teodolito más conocido como estación total.

Básicamente, el teodolito actual es un telescopio montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ángulos con ayuda de lentes.

Clasificación

Los teodolitos se clasifican en teodolitos repetidores, reiteradores y teodolito - brújula.

Teodolitos repetidores

Estos han sido fabricados para la acumulación de medidas sucesivas de un mismo ángulo horizontal en el limbo, pudiendo así dividir el ángulo acumulado y el número de mediciones.

Teodolitos reiteradores] Llamados también direccionales, los teodolitos reiteradores tienen la particularidad de poseer un limbo fijo y sólo se puede mover la alidada.

Teodolito - brújula

Como dice su nombre, tiene incorporada una brújula de características especiales. Éste tiene una brújula imantada con la misma dirección al círculo horizontal. Sobre el diámetro 0 a 180 grados de gran precisión.

Teodolito electrónico

Es la versión del teodolito óptico, con la incorporación de electrónica para hacer las lecturas del círculo vertical y horizontal, desplegando los ángulos en una pantalla, eliminando errores de apreciación. Es más simple en su uso, y, por requerir menos piezas, es más simple su fabricación y en algunos casos su calibración.

Las principales características que se deben observar para comparar estos equipos que hay que tener en cuenta: la precisión, el número de aumentos en la lente del objetivo y si tiene o no compensador electrónico.

El Teorema de Pitágoras

Pitágoras de Samos fue un filósofo griego que vivió alrededor del año 530 a.C., residiendo la mayor parte de su vida en la colonia griega de Crotona, en el sur de Italia. De acuerdo con la tradición fue el primero en probar la afirmación (teorema) que hoy lleva su nombre:

Si un triángulo tiene lados de longitud (a,b,c), con los lados (a,b) formando un ángulo de 90 grados ("ángulo recto"), tenemos que

a2 + b2 = c2

Un ángulo recto se puede definir como el ángulo formado cuando dos líneas rectas se cruzan de tal forma que los cuatro ángulos que forman son iguales. El teorema también se puede definir de otra forma: si las longitudes de los tres lados (a, b, c) de un triángulo satisfacen la relación anterior, el ángulo entre los lados a y b debe ser de 90 grados.

Por ejemplo, un triángulo con los lados a = 3, b = 4, c = 5 (pulgadas, pies, metros,... lo que sea) es rectángulo porque

a2 + b2 = 32 + 42

= 9 + 16 = 25 = c2

Los maestros de obras del antiguo Egipto pudieron conocer el triángulo (3, 4,5) y usarlo (mediante cañas o cuerdas calibradas) para construir ángulos rectos; aún hoy en día los albañiles usan tableros con clavos con esas longitudes que les ayudan a alinear una esquina.

Existen muchas pruebas, y las más fáciles son probablemente las que están basadas en el álgebra, usando las igualdades elementales presentadas en la sección precedente, a saber

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(Recuerde que 2ab significa 2 veces a veces b). Por ejemplo

152 = (10 + 5)2

= 102 + (2)(10)(5) + 52

= 100 + 100 + 25 = 225

y

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

Por ejemplo:

52 = (10 - 5)2

= 102 - (2)(10)(5) + 52

= 100 - 100 + 25 = 25

También es necesario conocer algunas áreas simples: el área de un rectángulo es (longitud) por (altura), de tal forma que el área del presentado arriba es ab. Una diagonal lo divide en dos triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de ese triángulo es, por consiguiente, (1/2) ab.

Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a, b, c). La longitud de cada lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2.

No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a, b, c) más un cuadrado de lado c en el centro (en rigor, también debemos de probar que es un cuadrado, pero nos saltaremos esto). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es (1/2) ab, y el área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas sus partes

(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2

Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

Reste 2ab de ambos lados y obtendrá

a2 + b2 = c2

Se puede mostrar el mismo resultado usando un cuadrado diferente, de área c2. Como muestra el dibujo de la derecha, esa área puede dividirse en cuatro triángulos como los anteriores, más un pequeño cuadrado de lado (a-b). Obtenemos

c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a-b) 2

= 2ab + (a2 - 2ab + b2)

= a2 + b2 Q.E.D.

Q.E.D. simboliza "quod erat demonstrandum," en latín "lo que queda demostrado," que en los libros de geometría, tradicionalmente, marcaban el final de una demostración. La importancia del trabajo de Pitágoras y de los siguientes maestros de geometría griegos, especialmente Euclides, no fue solo lo que probaron, sino el método que desarrollaron: comenzar desde algunas afirmaciones básicas ("axiomas") y deducir mediante la lógica sus consecuencias más complicadas ("teoremas"). Los matemáticos aún siguen ese modelo.

Fórmula de Herón

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, plantea que la superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

Donde p es el semiperímetro:

La fórmula puede ser reescrita de la siguiente forma:

Demostración

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces, por el Teorema del coseno, tenemos que:

Utilizando la relación entre senos y cósenos por medio de una identidad pitagórica

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud b
sin(C)
. Por tanto, siguiendo con la demostración

Generalización

La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo de la superficies de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular la superficie de un cuadrilátero.

Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados, obtenemos:

Ninguno de los resultados puede dar 0, pues no tendría solución el problema; por ejemplo: a=10, b=20, c=30, el primero saldría bien porque es una suma, pero los siguientes (a+b-c)= (10+20-30)=0 nunca se puede dar esa situación.

Área

Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos.

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.1

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhaución de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,2 así como el cálculo aproximado del número π

Superficie

El término superficie puede designar:

En geografía:

• a la extensión o área de un territorio.

En matemática:

• superficie, es aquello que sólo tiene longitud y anchura. –Euclides, Los Elementos, Libro I, definición 5ª.

o superficie alabeada, la que es reglada, no desarrollable,

o superficie curva, la que no es plana ni está compuesta de superficies planas,

 superficie de revolución, la engendrada por el movimiento de una curva que gira alrededor de una recta fija,

 superficie cilíndrica, la generada por una recta que se mueve paralelamente sobre una curva dada,

 superficie cónica, la generada por una recta que, pasando por un punto fijo, recorre una curva dada,

o superficie desarrollable, la superficie reglada que se puede extender sobre un plano, conservando la distancia entre sus puntos.

o superficie reglada, la que puede contener líneas rectas en determinadas direcciones.

En física:

• superficie física, es el límite de un medio continuo en contacto con otro medio de propiedades físicas diferenciadas,

• superficie de onda, la formada por los puntos que se hallan en la misma fase, en un momento dado, en un movimiento ondulatorio,

• superficie equipotencial, el lugar geométrico de los puntos de un campo de fuerza que tienen el mismo potencial.

En comercio:

• Gran superficie, es un centro comercial de grandes dimensiones.

Perímetro

El perímetro es la medida del contorno de una figura geométrica.

En matemáticas, pertenece al conjunto , es decir, es unidimensional, a diferencia de la superficie que contiene, que pertenece a .

•

Aplicaciones prácticas [editar]

El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando queremos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes.

En el uso militar, el término perímetro define un área geográfica de importancia, como una instalación física o trabajo de la defensiva, pero también puede referirse a una estructura teórica como una defensa completa formada por un grupo pequeño de soldados, el propósito de que es protección mutua de nosotros en lugar de la defensa de territorio real.

El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro Π = L/D. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, tiene infinitas cifras decimales. Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo), A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia aparece con el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios le otorgaban 4(8/9)²; y en China 3,1724. Sin embargo fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo. Euclides precisa en sus Elementos, los pasos al límite necesarios y investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.

Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es el la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.

En el siglo XVIII Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, naturalista francés, ideó un ingenioso método. Llamado "La aguja de Buffon" que relaciona el número pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada.

Buffon demostró que si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D (se puede repetir el cálculo utilizando un suelo de baldosas y una aguja), la probabilidad de que la aguja corte a una línea es:

Con un gran número de tiradas, se consigue un valor aceptable de Π

Conforme se han desarrollado las matemáticas, en sus diversas ramas, álgebra, cálculo, etc, se han ido construyendo distintos artificios que permiten afinar cada vez más su valor. Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.

Existen vías alternativas para calcular Π. Por ejemplo, podemos utilizar el periodo de un péndulo para realizar una estimación o usar procedimientos estadísticos. El sistema que se propone es parecido al del conde de Buffon, basado en la probabilidad.

Supongamos una circunferencia de radio 1, inscrito en un cuadrado Si creamos aleatoriamente pares de números (x, y) comprendidos entre cero y uno, si 1 ³ x2 + y2 el punto generado por x e y estará dentro del círculo mientras que si x2 + y2 ³ 1 los puntos estarán lógicamente en el cuadrado pero fuera del redondel. La probabilidad de que los puntos se hallen dentro de la circunferencia estará dada por la relación entre el área del círculo Π12 y la superficie del cuadrado (22). Con una serie significativa de repeticiones la proporción entre los que caen en el círculo y fuera de él tiende a Π/4, y así obtenemos el valor de Π de una forma estadística.

Se ha creado un programa que genera al azar los pares de dígitos. Concretamente crea 10 millones de puntos y determina el número Π cada millón de tiradas. Al ser una operación estadística, a veces nos acercamos al valor correcto (conocido con miles de cifras) y otras nos alejamos. Con esta técnica determinamos 3 decimales correctos obteniendo un error cercano al 0.02%.